Forum: Diverses

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  • Hallo an alle,


    ist jemand von euch gut in Mathe? Ich habe ein Problem. Die unten abgebildete Gleichung (Datei) ist eine quadratische Gleichung. Was mich daran stört ist das x unter der Wurzel. Wie komme ich zu einer guten Zahl, die ich dann als p in der pq-Formel einsetzen kann?

    Dateien

    • wurzelx.bmp

      (128,36 kB, 45 Mal heruntergeladen, zuletzt: )

    Einmal editiert, zuletzt von Higgy ()

  • Hallo,


    ich weiß zwar nicht die Lösung (ist schon soooooooooooo lange her) aber dafür den passenden Witz !
    Was ist ein Mathematiklehrer ?
    Ein Mathematiklehrer ist jemand der zu früh um Neun seine Wurzel aus einer Unbekannten zieht 8)


    cu
    Strunz

  • Zitat

    Original von Higgy
    was um Neun schon


    :)


    Jupp denn um Acht Uhr Morgens hätte er die erste Stunde gehabt... die fiel ja nun aus... zur Freude seiner Schülerin *gg* :D

  • Ist doch ganz einfach....


    Die gesuchte Zahl= 9


    Probe..... 9²= 81+ Wurzel aus 9 = 3 ergibt ins gesamt 84....


    Das Auflösen nach x sollte man aber dann schon können....*ggg


    am besten mann schreibt alle x einzeln auf, und setzt sich auch die Zeichen, so kommt man nicht durcheinander...


    also immer fleißig weiter üben.


    Gruß, Micha

  • X² + Wurzel(X) = 84


    Setzen wir fest, dass Y = Wurzel aus X


    Y^4 + Y = 84


    Und jetzt kannst du eine Gleichung der 4. Ordnung lösen. :D


    Ok, Hinweis: die Methode dafür ist die von Ferrari. Du kriegst dann eine Gleichung der 3. Ordnung zu lösen. :D


    Ok, Hinweis: die Methode dafür ist zum Beispiel die von Cardan.


    Dann kriegst du die Antwort für Y und dann für X.


  • Das das Ergebnis 9 ist, ist richtig. Die Frage war aber wie es mathematisch zu lösen ist und nicht durch probieren.


  • Y^4 + Y = 84, also soweit war ich auch schon aber dann müsste man doch die 84 auch zum Quadrat nehmen? wenn du einen rechenweg hast, schicke ihn mir doch bitte zu.

  • Du hast zwei Methoden:


    1/ entweder du nimmst alles zum Quadrat:


    X² + Wurzel(X) = 84 <=> (X² + Wurzel(X))² = 7056 ...aber du musst dann auf Zeichen aufpassen! 84 > 0 dann X² + Wurzel(X) > 0 dann verlierst du keine Lösung, und du kannst dann ausmultiplizieren:
    X^4 + 2 X² Wurzel(X) + X = 7056
    ...und du hast immer noch diese blöde Wurzel!


    2/ du setzt fest, dass Y = Wurzel aus X


    Y^4 + Y = 84


    Y^4 + Y - 84 = 0


    (*)


    3 ist eine deutliche Lösung, wie Stagetec es gezeigt hat. Du kannst es dann durch (Y - 3) faktorisieren:


    (Y - 3)(aY³ + bY² + cY + d)


    Jetzt muss man a, b, c, und d suchen.


    Ausmultiplizieren!


    a Y^4 + b Y³ + c Y² + d Y - 3a Y³ - 3b Y² - 3c Y -3d


    ist dann


    a Y^4 + (b - 3a) Y³ + (c - 3b) Y² + (d - 3c) Y - 3d


    Wir können identifizieren, und haben 4 Gleichungen (G1, G2, G3 und G4) mit 4 Unbekannten:


    G1: a = 1
    G2: b - 3a = 0
    G3: c - 3b = 0
    G4: d - 3c = 1


    dann a = 1, b = 3, c = 9 und d = 28


    Nota: G5: -3d = -84 ist redundant aber zeigt, dass wir richtig sind


    So, zurück nach oben:


    Y^4 + Y - 84 = 0


    <=>


    (Y - 3)(Y³ + 3Y² + 9Y + 28 ) = 0


    <=> Y = 3 (eindeutige Lösung von Stagetec) oder Y³ + 3Y² + 9Y + 28 = 0


    Jetzt haben wir eine Ordnung weniger!


    Y³ + 3Y² + 9Y + 28 = 0


    Schön, oder?


    Jetzt hast du wieder mehreren Möglichkeiten: Methode von Tschirnhaus, Cardan, Bézout oder Sotta.


    Sotta ist die beste: die gibt direkten Antworte!


    (*) Ab hier kannst du auch die Methode von H. Ferrari benützen, falls du kein Stagetec zu Hause hast ;) Er hat eine allgemeine Methode entwickelt, um Gleichungen von 4. Ordnung zu lösen, laut das französische Wikipedia: [URL=http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ferrari]http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ferrari[/URL]


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/c/9/9/c99360cfb75861944db286a99810c259.png[/IMG]


    <=>


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/a/4/6/a46b5b0462a405d43c52b9849d97b990.png[/IMG]


    Addieren wir beidseitig [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/a/7/a/a7a7b01ecc1235fa454f0d4f10e25ed9.png[/IMG]


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/e/4/b/e4bb2c0d9377d5020a9d23b501ea0571.png[/IMG]


    Ja, es ist zum Quadrat!


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/2/b/a/2ba5229ed4afeb6ddd98a57db35abde7.png[/IMG]


    Jetzt können wir ausmultiplizieren (hier verstehe ich nicht! aber ich werde einfach weiter übersetzen :( ):


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/e/8/8/e885549511640262a6af2ebf8bca64f6.png[/IMG]


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/8/8/c/88c66af0b55b0b0aed47fec7b21cd7d8.png[/IMG]


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/8/c/2/8c22b03a56280c5f03c6c4b6db32ad8e.png[/IMG]


    Jetzt müssen wir y finden, so dass das zweite Teil auch einen Quadrat wird! Und das zweite Teil ist ein Polynom von 2. Ordnung mit z als Unbekannt. Es ist dann ein Quadrat, wenn sein Diskriminante null ist, d. h. wenn


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/0/4/7/047d90018791732e58a50c6d8fb6c7b4.png[/IMG]


    Ausmultiplizieren, wieder!


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/6/2/8/62827f5b2ff4771246ce2d32a11e7c7c.png[/IMG]


    Du hast wieder eine Gleichung von 3. Ordnung zu lösen! => Methode von Sotta, oder Cardan, oder wie du es willst! Du kriegst dann mindestens eine Lösung yo in R (Real)


    Diese Lösung yo kannst du dann applizieren, und ausmultiplizieren:


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/3/6/7/367a290db8b2c3c61c791fcaa27d9834.png[/IMG]


    mit a (Real oder Komplex) und b so:


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/5/e/8/5e8840bdec473d545a20c5a84d1a4f70.png[/IMG]


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/f/3/c/f3cc23f962c00b1fa514da3ffcdd4765.png[/IMG]


    Es macht dann


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/c/e/e/cee6cf4c670896c22a62d3978ceda6b9.png[/IMG]


    Abziehen von 2 Quadrat! Dann bedeutet es:


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/e/4/9/e49098f6a3ea2ea5af8da20fefe20b8c.png[/IMG]


    Dann gibt es 2 Möglichkeiten:
    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/e/c/f/ecfe31a22e2b5a34b7bcdc9b5ef2f056.png[/IMG]


    oder


    [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/8/d/b/8dbe3c971622a5e631208748525ecfb0.png[/IMG]


    d. h. 4 Lösungen für z in unsere erste Gleichung von Wikipedia!

  • grübel, grübel.....ich weiß nicht...bei mir ging das doch irgendwie einfacher...


    aber vielleicht habe ich auch einen Denkfehler....
    der aber auf Anhieb funktionierte. Beim nochmaligen Zwischenprüfen (ob gleich auch wirklich gleich ist) traten Ungleichungen auf...wo ich nicht genau nachvollziehen kann wieso..... aber es passte am Ende wieder.


    Ich weesss doch och nicht....icke weeess nur das "slow"...langsam heeeesst..



    :) :) :)

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